QUANTIQUE (MÉCANIQUE) - Le formalisme de la mécanique quantique

QUANTIQUE (MÉCANIQUE) - Le formalisme de la mécanique quantique

La mécanique ondulatoire, développée initialement par de Broglie et Schrödinger à partir de 1924, nous a appris à décrire un système physique tel que l’ensemble de n particules par une fonction d’onde complexe 祥(q , t ) des coordonnées q et du temps t , les variables q étant des coordonnées indépendantes de t . La mécanique des matrices, développée par Born, Heisenberg et Jordan à la même époque, nous a enseigné à représenter les grandeurs physiques 行, telles que les coordonnées de position, les moments, le hamiltonien, etc. par des matrices 行^nm (t ) à un nombre infini de lignes et de colonnes et dépendantes du temps. Les deux descriptions équivalentes de phénomènes atomiques, et la discussion d’expériences réalisées et imaginées pour déterminer l’état d’un système capable de se présenter en plusieurs états différents ont conduit à l’établissement du formalisme général de la mécanique quantique.

Si un processus peut se réaliser selon plusieurs alternatives différentes et indépendantes, et si l’observation de ce processus ne permet pas de déterminer une quelconque de ces alternatives, alors il y aura une interférence entre ces alternatives dans le résultat de l’observation. Lorsque l’observation implique la réalisation d’une de ces alternatives, l’effet d’interférence est détruit. L’expérience des trous d’Young est un exemple bien connu de cet effet. Pour décrire ce fait fondamental, on a été amené à postuler que l’état d’un système physique est décrit par un vecteur unitaire d’un espace de Hilbert. Un système capable de se présenter dans des états différents est représenté par un vecteur de cet espace qui est la somme des vecteurs qui décrivent ces états. On introduit ainsi la notion d’un espace de vecteurs d’état. Les grandeurs physiques sont alors représentées par certains opérateurs linéaires définis dans l’espace des états et les valeurs possibles de cette grandeur sont les valeurs propres de cet opérateur. Un dictionnaire qui contient des règles de correspondance entre le formalisme mathématique et le contenu physique de la théorie a été établi, qui permet de relier les concepts et propositions mathématiques aux résultats d’observations physiques et aux expériences elles-mêmes. Si l’état d’un système est connu à un instant donné, il subira une évolution temporelle et l’équation d’évolution permet de déterminer le vecteur d’état à un autre instant. La prédiction des résultats d’une mesure, d’autre part, est introduite par des probabilités de trouver un de ces résultats dans une expérience où on mesure une grandeur physique représentée par son opérateur. Le formalisme de la mécanique quantique est aujourd’hui un système théorique logiquement et physiquement cohérent, en accord avec les résultats expérimentaux en physique atomique, en physique nucléaire et en physique des particules et des champs.

1. L’état d’un système physique en théorie classique

Les notions fondamentales sur lesquelles repose le formalisme de la mécanique quantique sont celles de l’état d’un système physique, de son évolution temporelle et celle d’une grandeur physique du système, susceptible d’être observée et mesurée, c’est-à-dire d’un observable .

En mécanique classique ^{[cf. MÉCANIQUE ANALYTIQUE]}, l’état d’un système de n particules ponctuelles à un instant donné t est défini par l’ensemble de 2 n variables vectorielles, les coordonnées des particules et ses vitesses:

à cet instant. L’évolution temporelle de ce système est déterminée par les solutions d’un ensemble de 3 n équations différentielles du second ordre en t , auxquelles satisfont les variables q (t ), soumises avec les face="EU Updot" 廊 (t ) à 6 n conditions initiales données qui définissent un état initial arbitrairement choisi. Le déterminisme de la mécanique classique est la traduction du fait que:

a ) on peut physiquement définir avec certitude l’état initial;

b ) la solution mathématique du système différentiel mentionné est unique et nous permet de prédire un état futur (ou passé) du système physique considéré, pouvant être soumis (pour un état futur) à une détermination expérimentale exacte.

Les équations de mouvement peuvent être établies à partir d’un principe variationnel, le principe d’action, qui postule que l’action:

est un extremum pour des variations arbitraires, 嗀q (t ) et 嗀 face="EU Updot" 廊 (t ), qui s’annulent aux limites d’intégration; la fonction L, qui est le lagrangien , contient toutes les informations sur la dynamique du système.

L’état de ce système peut alternativement être défini par les 6 n variables vectorielles q (t ) et p (t ) = ら¹(t ), ..., 轢pⁿ (t ), où les p (t ) sont les moments canoniquement conjugués à q (t ):

qui satisfont à un système de 6n équations du premier ordre en t , de la forme:

La fonction:

est le hamiltonien du système, une fonction des variables q (t ) et p (t ), qui contient également toutes les informations sur la dynamique du système. Le hamiltonien peut se déduire du lagrangien, on le sait, par une transformation de Legendre, et les deux formalismes, le formalisme lagrangien et le formalisme hamiltonien, sont équivalents en physique classique. En mécanique quantique, le hamiltonien joue un rôle privilégié pour l’évolution temporelle des états physiques; et ce sont les moments p , et non pas les vitesses, qui sont importants pour la construction, avec les variables q , du formalisme mathématique de la théorie.

Une grandeur physique F – une variable dynamique – en théorie classique est donc une fonction des 6n variables fondamentales:

et peut dépendre, d’une manière explicite, du temps (comme, d’ailleurs, le lagrangien et le hamiltonien). L’évolution temporelle de cette variable est déterminée par le crochet de Poisson de F avec H:

d’après l’équation:

Le hamiltonien représente l’énergie du système et est une constante de mouvement s’il ne dépend pas explicitement du temps.

La physique classique comprend, en plus de la mécanique (et de la mécanique statistique), les théories des champs, dont le premier exemple fut l’électrodynamique de Maxwell (cf. ÉLECTRICITÉ - Électromagnétisme). Un champ classique est défini par une fonction (tensorielle ou spinorielle) du point de l’espace-temps x = (x ⁰, ゑ), où x ⁰ = c 練 t (c étant la vitesse de la lumière). Le choix d’une fonction convenable de ce champ et de ses dérivées premières:

la densité de lagrangien L = L( 﨏, 煉 猪﨏, x ) donne lieu à un lagrangien L 漣:

qui est une fonctionnelle de 﨏 et 﨏; et l’action correspondante est la fonctionnelle:

Les formalismes lagrangien et hamiltonien se généralisent à la théorie des champs et un système de champs peut être regardé comme un système dynamique doué d’une infinité de degrés de liberté.

2. Les expériences qui révèlent les interférences entre états quantiques

Après la découverte de la mécanique ondulatoire de L. de Broglie et E. Schrödinger, et de la mécanique des matrices de M. Born, W. K. Heisenberg et P. Jordan, et la démonstration de leur équivalence, ce fut surtout l’analyse d’expériences, réalisées pour déterminer l’état d’un système physique capable de se présenter en plusieurs états différents, qui conduisit à l’établissement du formalisme de la mécanique quantique.

Considérons, tout d’abord, l’expérience qui consiste à faire tomber un faisceau de lumière polarisée, après passage par un polaroïd, le polariseur, sur un deuxième polaroïd, l’analyseur, parallèle au premier (fig. 1). Si l’axe optique de l’analyseur O x est parallèle à celui du polariseur Ox , la lumière traversera l’analyseur (fig. 1 b). Si l’analyseur a son axe optique dans une direction O y perpendiculaire à Ox , la lumière ne traversera pas l’analyseur (fig. 1 a). Comme il faut attribuer aux quanta de lumière les photons, une polarisation, qui est celle de son champ associé, on pourra dire que les photons avec polarisation parallèle à O x traverseront l’analyseur tandis que les photons avec polarisation perpendiculaire à O y seront arrêtés par l’analyseur. L’expérience nous apprend encore que, si l’axe optique de l’analyseur fait un angle 見 avec Ox , alors la fraction de lumière qui traversera l’analyseur sera cos² 見 (fig. 2). D’après la théorie ondulatoire de la lumière, si つ est le champ électrique de la lumière qui incide sur l’analyseur, ce sera sa projection E cos 見 sur l’axe O x qui traversera ce dernier polaroïd. Que dire dans le cas limite d’un faisceau de lumière constitué d’un photon qui tombe, dans un certain intervalle de temps, sur les polaroïds? Si la polarisation du photon est parallèle à l’axe optique, le photon traversera le polaroïd (le détecteur indiquera la présence d’un photon dans chaque intervalle de temps considéré); si elle lui est perpendiculaire, le photon ne passera pas. Dans le cas de la figure 2, où la polarisation du photon fait un angle 見 avec l’axe optique de l’analyseur, nous ne pouvons pas prédire si le photon traversera ou ne traversera pas l’analyseur. En répétant l’expérience un très grand nombre de fois, le détecteur indiquera la présence d’un photon en un nombre égal à cos² 見 multiplié par le nombre total d’expériences répétées. Nous disons donc que nous ne savons pas si un photon donné dans les conditions de la figure 2 passera ou ne passera pas l’analyseur, mais qu’il a une probabilité de traverser l’analyseur, égale à cos² 見. Dans cette expérience, le photon est capable d’avoir deux états: l’un, que nous représenterons par le symbole | + 礪, qui représente le photon avec polarisation parallèle à l’axe optique Ox et qui le laisse traverser le polaroïd; l’autre, désigné par | 漣 礪, qui représente le photon polarisé perpendiculairement à l’axe optique et dans lequel le photon ne traverse pas l’analyseur. Si nous représentons par | 見 礪 l’état d’un photon dont la polarisation fait un angle 見 avec l’axe optique, on admettra que cet état est une combinaison linéaire des deux états précédents | + 礪 et | 漣 礪 de telle sorte qu’on écrira:

Les deux états forment donc une base dans un espace à deux dimensions, un état arbitraire de polarisation du photon étant un élément de cet espace. Le produit scalaire de deux vecteurs | a 礪 et | b 礪 étant noté 麗 b | a 礪 = 麗 a | b 礪 (l’étoile désigne la conjugaison complexe), on aura:

de telle sorte que, si la projection de l’état

le carré de cette projection donnera la probabilité que le photon traverse le polaroïd.

Si l’on demande, dans une deuxième démarche, quelle est la probabilité que le photon, préparé dans un état de polarisation | 見 礪, soit détecté après passage par un deuxième analyseur dont l’axe optique fait un angle 廓 avec celui du polariseur, on trouvera la projection du vecteur | 見 礪 sur l’état final | 廓 礪, qui peut s’écrire, en considérant la relation de fermeture:

La probabilité demandée sera alors | 麗 廓 | 見 礪 |² = cos² ( 廓 漣 見). C’est le fait de devoir faire la projection d’un état préparé sur un état à être observé qui conduit, lorsqu’on calcule la probabilité, à une interférence entre les différents états possibles.

Cette interférence est illustrée d’une façon très claire dans l’expérience des trous d’Young (cf. mécanique QUANTIQUE – Propriétés fondamentales).

La détection d’un photon (ou une autre particule quelconque) émis de la source S, au point x , et qui a la possibilité de passer avant par les trous 1 et 2 sera décrite par la projection:

La probabilité | 麗 x | S 礪|² contiendra donc des termes d’interférence S¹S²f ¹(x )f ²(x ) + S²S¹f ¹(x )f ²(x ) qui décrivent le fait que la distribution de particules sur le détecteur lorsque les deux trous 1 et 2 sont ouverts n’est pas la superposition des distributions | S¹f ¹(x )|² et | S²f ²(x )|² obtenues respectivement quand un des deux trous est fermé.

3. L’état d’un système physique en mécanique quantique

Nous sommes ainsi amenés à admettre comme premier postulat de la mécanique quantique que l’état d’un système physique est défini par un rayon normé d’un espace de Hilbert (cf. espace de HILBERT). En général, un vecteur appartenant à un espace à un nombre fini de dimensions (comme dans les exemples ci-dessus) n’est pas suffisant pour décrire l’état d’un système physique. Ainsi, un atome d’hydrogène pouvant exister dans un quelconque ensemble dénombrable d’états stationnaires et un ensemble continu d’états avec énergie positive, un état de cet atome est en général une superposition de ces états qui balayent un espace à un nombre infini de dimensions. Un espace de Hilbert 流 est un tel espace; c’est un espace vectoriel sur le corps des nombres complexes sur lequel on définit un produit scalaire qui donne aux vecteurs une norme définie et positive, l’espace étant, en plus, complet et séparable. Si | 見 礪 est un vecteur d’un espace de Hilbert, l’ensemble des vecteurs qui lui sont parallèles | 祥 礪, où est un nombre complexe, constitue un rayon; ils représentent le même état que | 祥 礪. Les rayons normés sont définis par la condition de normalisation:

Dans ce qui suit nous désignerons les rayons normés par | 祥 礪.

Le principe de superposition, fondamental pour la description des interférences des états possibles d’une particule, résulte de cette définition de l’état en mécanique quantique; il affirme que toute combinaison linéaire d’états possibles d’un système physique est encore un état possible du système (cf. infra , Les symétries en mécanique quantique. Règles de super-sélection ).

4. Variable physique observable en mécanique quantique

Le deuxième postulat de la mécanique quantique a pour but de définir l’être mathématique qui décrira une grandeur physique susceptible d’être mesurée – un observable. Un observable est représenté par un opérateur linéaire auto-adjoint défini sur l’espace 流 des vecteurs d’état du système physique.

Ces deux postulats établissent les correspondances:

– étatvecteur d’état (rayon normé) d’un espace de Hilbert 流;

– observableopérateur linéaire auto-adjoint défini sur 流.

Le troisième postulat définit le résultat de la mesure d’une grandeur physique représentée par l’opérateur 行, moyennant une observation réalisée sur un système préparé dans un certain état. Si le vecteur d’état du système est un vecteur propre de l’opérateur 行, avec valeur propre 諸, c’est-à-dire si l’on a:

alors on dira que la valeur de l’observable 行 comme résultat de la mesure physique sur cet état est le nombre 諸.

Immédiatement après la mesure, le système se trouvera dans l’état | 諸 礪; on dit encore que, dans un état propre d’un observable, la mesure de cet observable ne perturbe pas cet état.

L’ensemble des valeurs propres 諸 d’un opérateur auto-adjoint 行 – qui sont des nombres réels – constitue le spectre de cet opérateur; le spectre est en général formé d’un ensemble dénombrable (spectre discret) et d’un ensemble continu. Deux vecteurs propres appartenant au spectre discret | 諸^a 礪 et | 諸^b 礪 sont orthonormaux:

où 嗀^ab est le symbole de Kronecker ^{[cf. POLYNÔMES]}. Si | 諸 礪 et | 諸 礪 appartiennent au spectre continu, la relation d’orthonormalisation fait intervenir la fonction de Dirac 嗀( 諸 漣 諸 ) ^{[cf. DISTRIBUTIONS (mathématiques)]}:

ce qui signifie que, étant donné une fonction régulière 﨏( 諸), on a la relation:

5. Probabilité d’un résultat dans une mesure physique

Un principe qui nous donne la possibilité de prédire le résultat d’une mesure est nécessaire. Ce postulat, le quatrième dans cet exposé, affirme que, si un système physique est préparé dans un état | 祥 礪, alors la probabilité qu’une mesure d’un observable 行 donne comme résultat la valeur 諸 est | 麗 諸 | 祥 礪 |², si le spectre de 行 est discret. Pour un opérateur avec spectre continu, la probabilité que 行 ait une valeur comprise entre 諸 et 諸 + d 諸 sera | 麗 諸 | 祥 礪 |² d 諸. Ainsi, un atome d’hydrogène dont on ne connaît pas l’état stationnaire sera représenté, si l’on fait abstraction du spectre continu, par une superposition de ces états:

où 祥ⁿ (t ) = 麗Eⁿ | 祥(t ) 礪 et les états | Eⁿ 礪 sont des états propres du hamiltonien: H | Eⁿ 礪 = Eⁿ | Eⁿ 礪. La probabilité que la mesure de l’énergie de cet atome donne la valeur E^k sera alors | 祥^k (t ) |² 令 | 麗 E^k | 祥 (t ) 礪 |².

6. Information maximale dans un vecteur d’état

Les opérateurs qui représentent les observables ne commutent pas, en général, entre eux. On peut montrer que deux opérateurs 行 et 廬 ont le même ensemble de vecteurs propres si, et seulement si, leur commutateur, à savoir:

s’annule. Cela implique que les deux grandeurs observables définies par des opérateurs qui commutent peuvent être mesurées dans une même expérience et avoir des valeurs exactes, 諸 et. Les vecteurs propres de 行 et 廬 seront communs:

Pour définir l’état d’un système physique, il nous faudra donc déterminer le nombre maximal et irréductible d’opérateurs observables qui commutent entre eux, 行¹, ..., 行ⁿ ; ils définiront une base dans l’espace de Hilbert:

Un état du système en question pourra alors s’exprimer dans cette base (l’intégrale indique aussi une somme sur le spectre discret, s’il existe):

où 祥( 諸¹ ... 諸ⁿ ) = 麗 諸¹ ... 諸ⁿ | 祥(t ) 礪 représente l’amplitude de probabilité : son carré absolu donne la probabilité de trouver le système à l’instant t dans l’état | 諸¹ ... 諸ⁿ 礪.

7. Transformations d’états et d’observables. Description de Heisenberg et description de Schrödinger

Nous venons de mentionner la notion d’état à un instant donné. L’évolution temporelle de l’état d’un système physique est évidemment une notion fondamentale et nous devons l’introduire dans le formalisme. La comparaison entre deux états à des instants t et t différents, | 祥 (t ) 礪 et | 祥 (t ) 礪, peut être considérée comme deux descriptions différentes de l’état du système par deux observateurs dont les montres marquent respectivement les instants t et t . Nous devons donc compléter la théorie en établissant les relations entre les descriptions d’un état quelconque d’un système physique, faites par plusieurs observateurs.

Soit | 祥 礪 le vecteur d’état et 行(x ) les opérateurs associés à un système physique par un observateur – un physicien dans un certain laboratoire L par exemple. Le physicien d’un autre laboratoire L pourra décrire ce système, soit en lui attribuant le même vecteur d’état | 祥 礪 et de nouveaux opérateurs 行 (x ) pour les observables, soit en décrivant le système par un nouveau vecteur d’état | 祥 礪 et les mêmes observables 行(x ). Le premier type de corrélation entre L et L est la description de Heisenberg ; le second est la description de Schrödinger . Comme ces deux descriptions doivent être équivalentes, la probabilité de trouver le système dans l’état | 淋 礪 après la mesure de 行 sur l’état | 祥 礪 est la même dans les deux descriptions adoptées par le physicien L soit:

Le théorème de Wigner démontre que, s’il existe une application bijective T entre les rayons normés de deux espaces de Hilbert 流 et 流 telle que:

où:

alors il existe une application de l’espace 流 en lui-même:

qui induit la première et qui est soit unitaire:

soit anti-unitaire:

On aura donc pour les vecteurs d’état définis par les physiciens L et L dans la description de Schrödinger ci-dessus:

tandis que dans la description de Heisenberg:

Alors, grâce à l’équation (3), on aura:

– soit:

dans le cas d’une transformation unitaire:

– soit:

pour une transformation anti-unitaire:

(celui-ci est le cas de la transformation définissant dans l’espace de Hilbert le renversement du temps).

8. Évolution temporelle d’états et d’observables

Un cinquième postulat admet l’existence d’une application unitaire, l’opérateur de l’évolution temporelle , U(t , t ⁰), qui transforme un vecteur d’état | 祥 (t ⁰) 礪 à l’instant t ⁰ dans un vecteur d’état à l’instant t , | 祥 (t ) 礪:

L’opérateur U(t , t ⁰) est unitaire (conservation des probabilités):

et il est tel que:

Le vecteur | 祥 (t ) 礪 est l’état instantané qui décrit le résultat de toutes les expériences réalisées à cet instant et qui caractérise la description de Schrödinger de la mécanique quantique. Pour un intervalle de temps t 漣 t ⁰ infinitésimal, U(t , t ⁰) sera une transformation infinitésimale dont le générateur, H (indépendant du temps), par définition s’écrit:

par conséquent, l’équation:

conduit à l’équation de Schrödinger:

qui est la forme différentielle du postulat de l’évolution temporelle des vecteurs d’état. Dans cette description, les observables ne dépendent pas du temps d’une manière explicite. C’est la description de Schrödinger de la mécanique quantique. Dans la description de Heisenberg, le vecteur d’état ne dépend pas du temps, il décrit les résultats de toutes les expériences réalisées le long de l’histoire complète du système – c’est l’état sub specie aeternitatis . Nous pouvons identifier | 祥 礪^H avec un vecteur d’état de Schrödinger à un instant donné:

d’où la relation entre | 祥 礪^H et | 祥 礪^S:

et, pour les observables:

d’après l’équation (3 a). Dans la description de Heisenberg, les observables sont donc décrits par des opérateurs qui changent avec le temps.

Des équations (4) et (6) il s’ensuit que l’opérateur d’évolution temporelle U(t , t ⁰) satisfait à l’équation de Schrödinger:

où H 令 H^S ne dépend pas du temps. Alors, de l’équation (7), on obtient:

On en déduit ainsi l’équation différentielle de mouvement des observables 行^H(t ):

où H(t ) est le hamiltonien dans la description de Heisenberg:

La relation formelle de l’équation (9) avec les équations canoniques (1) de la dynamique classique est remarquable. Les équations classiques (1) s’écrivent:

d’après la définition (2) du crochet de Poisson. Si l’on désigne par Xk ^A(t ) et Pk ^A(t ) les opérateurs des coordonnées de position et d’impulsion d’un système de n particules dans la description de Heisenberg, les équations quantiques de mouvement de ce système dans cette description sont, d’après (9):

et l’on voit que le crochet de Poisson classique est remplacé en mécanique quantique par le commutateur multiplié par le facteur 漣 i / 寮 .

9. Les symétries en mécanique quantique. Règles de super-sélection

Un certain nombre de régularités observées dans les phénomènes physiques résultent de lois de conservation qui affirment la constance dans le temps de certaines variables physiques.

Les lois de conservation de l’énergie de l’impulsion et du moment angulaire sont valables en mécanique classique comme en mécanique quantique et résultent de l’invariance de la théorie par rapport aux opérations de translation dans le temps et dans l’espace et aux opérations de rotation. Ces lois sont ainsi reliées à des principes d’invariance ou de symétrie. En mécanique quantique, une transformation de l’état d’un système physique est une symétrie si les états transformés donnent lieu aux mêmes lois physiques que les états considérés initialement.

Si un observateur L décrit un système physique par un vecteur d’état | 祥(t ⁰) 礪 à un certain instant t ⁰, cet état évoluera dans le temps et se présentera à l’observateur sous la forme | 祥(t ) 礪 = U(t , t ⁰) | 祥(t ⁰) 礪 à l’instant t . Un autre observateur L pourra décrire le même système physique par d’autres vecteurs d’état | 祥 (t ⁰) 礪 et | 祥 (t ) 礪. On postule qu’il existe un opérateur linéaire A qui transforme les | 祥 礪 dans les | 祥 礪:

Si les lois physiques établies par deux observateurs sont les mêmes, alors on aura la même équation d’évolution:

De l’équation précédente, il résulte donc que:

l’opérateur A commute avec l’opérateur d’évolution. Pour une évolution temporelle infinitésimale (5), on voit donc que la transformation commute avec le hamiltonien:

Les transformations A dans l’espace de Hilbert constituent une symétrie si les lois physiques déduites des vecteurs d’états | 祥 礪 et | 祥 礪 sont les mêmes. L’opérateur sera, dans ces conditions, une constante de mouvement puisque d’après (7):

Un observable 行 se transformera sous l’action de la transformation A de la façon suivante:

Si A est une transformation continue avec générateurs A size=1^益 et paramètres 諸益, alors:

et donc:

Ainsi, dans une translation infinitésimale le long de l’axe Ox :

on aura, en posant 諸益a , A size=1^益p^x :

qui conduit au commutateur [x , p^x ] = i 寮.

Si un opérateur de champ complexe subit une transformation de phase constante 﨏(x )﨏 (x ) = e ⁱ size=1^見 﨏(x ), alors, dans l’espace de Hilbert, l’opérateur de la charge Q sera le générateur de cette transformation:

et aura le commutateur suivant avec le champ:

Il est d’intérêt de signaler que l’existence de certains opérateurs, comme la charge Q, qui ne sont pas proportionnels à l’identité mais qui commutent avec tous les observables, implique que l’espace de Hilbert des vecteurs d’état se décompose en sous-espaces orthogonaux tels que les phases relatives des composantes d’un vecteur d’état dans deux sous-espaces différents sont complètement arbitraires. Par conséquent, on ne peut pas mesurer un observable si la valeur espérée est calculée avec un vecteur qui a des composantes dans deux de ces sous-espaces. Un exemple est l’espace de Hilbert des vecteurs d’état avec 1, 2, ..., n , ... électrons; il est l’union des sous-espaces correspondant à chaque valeur de la charge, et un vecteur, qui est la superposition d’un vecteur d’état avec une charge q ¹ et d’un autre vecteur d’état avec une charge différente q ², n’est pas un état possible. Ainsi, dans la définition donnée précédemment de l’espace des états, il faut ajouter que cet espace est la somme de sous-espaces (incohérents) de telle sorte qu’un rayon normé d’un sous-espace est physiquement réalisable tandis qu’un rayon normé avec composantes en deux ou plus de ces sous-espaces ne l’est pas. Les conditions imposées aux opérateurs linéaires auto-adjoints pour qu’ils soient mesurables constituent ce qu’on appelle les règles de super-sélection .

10. La matrice S et la description de l’interaction

Si les particules sont décrites par la mécanique quantique, les champs avec lesquels elles interagissent doivent, eux aussi, obéir aux principes de cette théorie. Un champ physique est donc décrit en mécanique quantique par un opérateur et la notion de particule elle-même est définie à partir de ces opérateurs de champ . La notion de corpuscule n’est donc pas une notion primitive. Le problème d’intérêt dans la théorie quantique des champs, la recherche de la nature des forces d’interaction et des caractéristiques des particules, peut se poser ainsi: on prépare un faisceau de n particules sans interaction mutuelle, à un instant initial t voisin de 漣 秊, et caractérisées par des nombres quantiques p ; elles se propagent dans le temps avec leurs masses physiques, interagissent mutuellement pendant un intervalle de temps fini et émergent vers un état final, à t voisin de + 秊, où elles sont de nouveau libres avec des nombres quantiques p . Si l’on désigne par | p ¹, ..., pⁿ ; in. 礪 le vecteur d’état initial, on veut connaître l’amplitude de probabilité:

pour que les particules émergentes, en nombre possiblement différent, k , soient dans un état final, émergent, décrit par le vecteur | p ¹, ..., p ^k ; em. 礪. Cette amplitude est un élément de la matrice S , dont le carré absolu est la probabilité de la transition considérée.

Pour le calcul de la matrice S , il est plus convenable d’introduire un nouveau type de description différente de celles de Schrödinger et de Heisenberg, la description de l’interaction , ou de Dirac. Dans cette description, le vecteur d’état | 祥^I(t ) 礪 est défini par l’équation:

où H⁰ est la partie des champs libres dans H = H⁰ + V, V étant le hamiltonien d’interaction. Dans l’équation différentielle pour ce vecteur d’état intervient seulement le hamiltonien d’interaction V^I(t ):

tandis que les opérateurs 行^I(t ) des champs obéissent à l’équation des systèmes libres:

L’opérateur d’évolution U^I(t , t ⁰) s’écrit ici:

et la matrice S s’obtient de cette équation à la limite t秊, t ⁰漣 秊.

Le formalisme de la théorie quantique des champs s’est développé à partir des travaux de R. P. Feynman, J. S. Schwinger et S. I. Tomonaga, dans les années 1945-1950 (après naturellement les travaux pionniers de W. Heisenberg, W. Pauli et P. A. M. Dirac dans les années 1927-1930), et a abouti à la formulation d’une théorie cohérente (renormalisable) de l’électrodynamique. Les progrès dans ce domaine ont été contenus dans les théories des champs de Yang-Mills, généralement appelés champs de jauge. Ces théories ont ouvert la perspective d’une possible description unifiée des interactions fondamentales, le premier exemple d’une tentative d’unification étant le modèle de Salam-Weinberg des interactions électro-faibles ^{[cf. PARTICULES ÉLÉMENTAIRES]}. Les techniques pour calculer la matrice S et des objets mathématiques associés, tels que la fonctionnelle génératrice et les fonctions de Green, sont importantes dans ces théories. La méthode des intégrales de trajectoire a un intérêt spécial dans la théorie quantique des champs de jauge, méthode de quantification applicable également à la mécanique quantique ordinaire et qui a été formulée par Feynman. La quantification par la technique des intégrales de trajectoire s’est révélée plus puissante que la méthode de la quantification canonique, base historique du formalisme de la mécanique quantique. Cette méthode est l’aboutissement du formalisme intégral de la mécanique quantique par lequel est introduit le concept de propagateur de Feynman.

Encyclopédie Universelle. 2012.